Benjamin Chien

「作業」繳交的問題和好處

有些教學最後會有「家庭作業」，你可以做也可以不做，我並不強迫，但是因為筆者，有開放給同學發問問題，也會針對問題下去做教學，但是筆者不喜歡那一種，什麼都不看，就只知道說「我不會，救救我」的人，因此，有沒有繳交作業，就成了日後是否擁有這項權益的標準。

作業的難度，真的不高，只是驗收你學習的成效而已，大部分的解答，會在該教學文章得到解答，如果答案不是在文章，筆者會加註☆號，表示這一題，必須要看過之前的文章，可能才會解。

因為本站是教導Maxima，所以題目就是要你操作Maxima計算，不要手工求解，再掃描給我。

另外，筆者喜歡考申論題，沒錯，數學的題目考申論題，通常就是要你，用文字解釋為什麼要這麼做?這一段代表什麼意思?諸如此類的題目，請同學不要害羞，儘量回答，有時後是送分的，筆者只是想知道同學的看法而已，這可以做為筆者教學的參考，申論題不用寫太多，並且必須用Maxima寫，寫在註解Cell。

作業繳交格式:兩種檔案，Maxima檔案(*.wxm)是必須的，另外同學最好再附上圖片檔(Gif、Jpg…)，方便筆者整理，大小要適中，如果解答有多張圖，請自行加上流水號(1，2，3…)，有附上圖片檔的同學，有加分。

考卷格式:不用抄題目，但需註明為第幾題，如遇不會作答的題目，也一樣要註明第幾題。

E-Mail:請將解答寄到designforest@yahoo.com.tw，通常大概要等一個禮拜，筆者才會通知成績，請耐心等候

評分標準:各項分數，在題目後都會註明，此外，你真的不用太擔心，分數並不是唯一。

solve()-基本求解函數

Maxima 0 意見

solve是Maxima最基本的求解函數，舉凡求多項次的解，解聯立方程式，都可以使用solve來求解。簡單的東西不用說的太複雜，現在我們就用幾個實例來說明solve的使用時機。

1:解二元一次方程式

本例中，只有一個變數x，使用solve可以不指定第二個參數solve(%,x)，但習慣上還是建議加上去，沒必要省這種工夫。

2:解多變數方程式，求。

本例有兩個變數x和y，所以一定要指定第二個參數。

3.解聯立方程式

Solve:

說明:

第一行的看起來好像只有(%i1)，事實上第一行包含兩個Input(%i1和%i2)，還記得前面說過，每一行的輸入是以; (分號)做為結束嗎，所以(%i1)只到為止，而下一段的則是屬於(%i2)，所以(%i2)是存在的，同學可以試著輸入%i2，看看結果。

此外，還要再說明一點，每個Input一定會對應一個Output，以%i1來說，它對應的就是%o1，所以你也可以從Output得知有幾個Input。

另外我們再複習一下變數的指定，的意思是說，我們把賦給了f1變數，同學可以輸入f1看看會有什麼結果，而f2也是一樣，這樣做的好處，是方便我們後面使用，畢竟用鍵盤輸入數學式，不是一件很容易的事，如果每次我們要用到就重打一遍，既不方便也不聰明。筆者建議同學們，要養成將算式指定給變數的好習慣。

接著來到%i3，本例是解聯立方程式，所以第一個參數會是一個以上的方程式，要注意是以[](方框號)把方程式括起來，而方程式之間是以「，」(逗號)做區隔，而第二個參數，我們要求兩個不同變數的解，也是要用[](方框號)括起來，「，」(逗號)做區隔。接著直接看%o3，我們得到。

在%i3和%o3之間的一堆 'rat' replaced xxxxxxx，是因為浮點數轉換產生的訊息，不影響計算，但如果想關閉的話，你可以使用ratprint函數(預設是true)，將它改為false。如下圖所示:

現在那些訊息不會出現了。

總結:

有關solve()函數，就是這三種用法，當然你可以計算的更複雜，例如計算3個方程的聯立，或是更多，隨你高興。

另外在例3提供一些概念，讀者要注意，反覆思考，這一些對你在往後的Maxima操作都會有所幫助。

作業:

.小明身上恰有23枚硬幣，共180元；其中5元硬幣有x枚，10元硬幣有y枚。

列出聯立方程式，並將其指定給var1和var2。(30%)
請想像，原先指定var1和var2變數的Input不見了，我們只知道這兩個變數確實存在，但不知道各自代表什麼，請問在Maxima，你會怎麼做，來知道var1和var2代表的意義?(20%)
求出5元硬幣有幾枚，10元硬幣又有幾枚?(20%)
☆請將先前指定的var1和var2變數刪除，並證明刪除成功。(30%)

Maxima函數

0 意見

提到Maxima函數，就令我有點頭痛，所謂的Maxima函數與數學所說的函數是有所不同的，也許有些人會建議特地用兩個不同的名稱來稱之，但筆者認為，其實都叫函數是恰當的，因為本質上是相同的，用不同的名稱來稱之，反而會令同學產生混淆，不過筆者還是儘量(有時會忘記)用「函數(指數學上)」和「Maxima函數(指程式語言)」來區分。

所謂Maxima函數，指的是將一連串Maxima指令(程式)，集合成一個可執行特定動作的功能。下圖示範「factor(因式分解)」函數。

以上圖來說，使用factor(exp)，可以對方程式進行因式分解，如果該方程式為不可分解，則保持原狀不變。

我不想把函數說的太複雜，簡單來說，就是你可以「簡單」的運用相同多的Maxima函數，來進行各種數學運算和操作，往後還會介紹到許多同學的最愛，微積分函數。

上面我們對二元一次方程式進行了因式分解，從%o2我們可以知道x=5或x=-3，但是有沒有辦法，可以使Maxima直接算出答案來呢?有的!

solve函數是maxima最基本的「求解」函數，使用solve來求解上面的題目，我們可以輕易的得到答案。

使用方式:solve(exp,variable)

說明:

使用solve，需要兩個參數，第一個是欲求解的方程式，第二個是要求出方程式中的哪個變數，很明顯的本題是要求x，以本題來說，因為只有一個變數，所以你也可以省略第二個參數x，但如果有兩個以上的變數，則第二個參數不可省略，如下圖所示:

有關solve函數，後面會再詳細說明。

Maxima函數非常多，很難從中快速找到想要的函數，所幸，Maxima已經幫我們做好了分類，以factor來說，Maxima將其分類成Simplify(簡化)，你可以在功能列上找到Simplify，點選它，在選單中都是Maxima分類好為「簡化」類的函數。

而solve函數，則是屬於「Equations(方程式)」。

除了以手打和功能列兩種方式外，另外Maxima還建立了一些快速按鈕，在wxMaixma畫面下方。

然而，Maxima的函數實在是太多了，功能列和快速按鈕的方式雖然方便，但仍無法涵蓋所有函數，因此，正確的Maxima操作方式，還是以手動輸入為正統，其次為功能列，有些函數，我會建議使用功能列，因為在功能列的函數，通常會加上視窗，在輸入上會更人性化，往後有機會，會特別強調，而快速按鈕，只能說是聊備一格，在操作上，請以手動輸入和功能列方式為主。

筆者的教學是以微積分、工程數學為主，所以會有很多你需要用到，可是筆者沒介紹到的函數，這部分，就需要讀者，自行到Maxima的幫助說明(F1)尋找，想要的函數。

函數和變數的定義

Maxima 0 意見

在MAXIMA我們可以用「 : 」來定義一個變數，上圖表示我們將 3y 定義給 x，在%i2 我們直接呼叫x，maxima 跑出 3y，因為我們前面已經定義了 x=3y, 要清除變數我們可以使用 kill():

要清除所有變數，可以輸入 kill(all)。

要查詢設定了哪些變數，可以使用 values:

前面是定義變數，接著我們要定義一個「函數」;

跟定義「變數」不同，使用的是「:= 」。

我們也可以定義一個函數有兩個變數

要清除函數，一樣是使用 kill( )。

變數和函數的名稱，是區分大小寫的，在使用的時後要注意。

基礎-1-(特殊符號-π-Ω....)

Maxima 0 意見

在做數學運算的時後，常會用一些數學符號，例如在計算圓的半徑，我們就會用到 π ， π 為3.14....這個大家都知道，可是每次都要打一次就太不方便了，maxima就內建了π 的函數，當我們需要用到的時後，只需要輸入「%pi」，maxima就會知道我們現在要的是「3.14159............」，而且maxima不會出現數值解，而是會出現「符號解」就是「π」這個符號，見下圖操作。

另外要注意一點，MAXIMA是有分大小寫的，預設數字大多是小寫，「%pi」跟「%PI」是不一樣的變數，大小寫要注意，建議要自定變數時，儘量以小寫為主，其次以筆者目前用的介面(wxmaxima)為例，預設是沒有開啟「希臘字型」，以上圖為例，如果沒開啟「希臘字型」就會出現下圖的顯示:

wxmaxima還是認的出「 %pi 」，只是顯示是以純文字來顯示，如果覺得這樣不美觀的話，可以去開啟「希臘字型」，開啟的方法:

「Edit」—>「Configure」

完畢後就可以見到「%pi」變成「π」，不過目前筆者「 %e」(指數)一直沒辦法正確顯示「 e 」，不過操作不成問題。

下面列出部分特殊符號對照語法:

一般數學常用的x,y,z，只需要就是輸入x,y,z即可，不用再加%。

此外，再提供一個希臘文字符號表:

使用方式，只需在符號的讀音前加上%，首字母大寫代表大寫的符號，小寫代碼小寫符號，以Ψ為例:

認識(符號運算軟體)，和基本四則運算

Maxima 0 意見

首先我請你想像一下，如果你在電腦輸入 2/3 ，你覺得會出現什麼答案，我想很多人都會回答

0.66666666666667

正確，可是到底什麼是符號運算呢。

我們在wxmaxima輸入 2/3 看會的到什麼答案:

怎樣，沒想到吧，maxima竟然是回答分數的答案，這還沒什麼，再看一題，2x-x 等於多少:

看到了嗎，我想你現在對所謂符號運算，應該有些概念了，maxima自動將英文字母視為變數或說符號，在上式輸入 2*x-x ，maxima會計算 2 個 x 減掉一個 x 最後剩一個 x , 在數學運算中，有很多時後，我們要的是過程，而不是答案，所以一般的數值運算軟體很難合乎我們的需求，也才會產生符號軟體這種東西。

緊接著我們來練習maxima的基本運算:

可以看到maxima的運算規則跟一般是一樣的，乘除優先於加減，而括號又優先於前兩者。

接著我們再回來看 2/3 ，在預設下maxima每次都會是回答分數形式的答案，我們也可以要求輸出數值答案 :

利用float( )可以得到數值解，在%i2的float(%)，括號內的 % 代表上一個執行的結果，要注意不是指上一列，是上一個的執行結果，另外%i3也是求數值解的方法之一，其中 '' 是兩個 ' ， ''%i1 代表重新執行 %i1 那一列， numer 表示我們要數值解。

如果你想控制小數點後位數，可以使用bfloat()搭配fpprec:16。

下圖是 2/3 答案顯示為數值解的4種方式:

很明顯的 2/3 是無理數，除不盡的，可是每個軟體都一樣，在求數值解的時後，會在某個範圍，進行截斷，maxima預設是16，也就是面對像 2/3 這種無理數，maxima會算到第14(maxima的16是指連前面的0還有小數點都算一位)，就進行截斷並四捨五入，這樣也就造成了精度遺失的問題，這是沒辦法避免的，所以在這裡我建議，在計算過程中，最好保持分數的形式，也就是符號解，到最後再把它轉換成數值解，這樣就可以把精度遺失的問題，減到最低。

接著我們再來討論一些基礎:

每一句語法是以「 ; 」或「 $ 」為結束點，如果想在語法後面加上一些註解，可以鍵入「 /* 」，然後在後面輸入你要註解的文字，MAXIMA執行到「 /* 」後會停止，而不會繼續執行後面的程式，至於「 ; 」和「 $ 」都為結束點，差別在於，使用「 ; 」MAXIMA會在下一列輸出運算結果，而如果是輸入「 $ 」，MAXIMA一樣會運算，但是不輸出結果，WXMAXIMA有個貼心的功能，你在輸入完畢後，可以直接按「Shift + ENTER」，因為WXMAXIMA會自動幫我們補上「 ; 」。

在0.7.x之前的版本，使用「/*」的註解，會有問題，這個問題在新版一樣會出現，目前的解決方法，就是暫時不要使用「/*」來做為註解，而是使用「F6」直接產生註解Cell。

下圖是四則運算的示範: